全微分公式推导(全微分公式)

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1、一、全微分的定义给定二元函数，且均存在，由一元微分学中函数增量与微分的关系，有上述二式的左端分别称之为二元函数对或的偏增量，而右端称之为二元函数对或的偏微分。

2、为了研究多元函数中各个自变量都取得增量时，因变量所获得的增量，即全增量的问题，我们先给出函数的全增量的概念。

3、【定义】 设二元函数在点的某邻域内有定义，点为该邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点处对应于自变量增量与的全增量，记作。

4、即                           (1)一般说来，全增量的计算往往较复杂，参照一元函数微分的做法，我们希望用自变量增量与的线性函数来近似地代替，特引入下述定义。

5、【定义】如果函数在点的全增量可表示成为                               (2)其中，,为不依赖于与，而仅与有关，则称函数在点处可微分。

6、而称为函数在点处的全微分，记作二、函数可微分的条件【定理一】（必要条件）如果函数在点处可微分，则函数在点处的偏导数, 必定存在，且函数在点的全微分为                                       (3)证明：设函数在点可微分。

7、于是，对点某一邻域内的任意一点，(2)式总成立。

8、特别地，当时，(2)式也成立，这时，即于是  从而，偏导数存在且等于。

9、同理可证 故(3)式成立。

10、【定理二】（充分条件）如果函数的偏导数和在点连续，则函数在该点可微分。

11、证明：因在点的偏导数,连续，故在点的某一邻域内,存在。

12、设为该邻域内任意一点，则 应用拉格朗日中值定理有又在点连续，于是，其中。

13、于是 同理可证 ，其中.于是，全增量可表示成为而    当，即时，它是趋近于零的。

14、因此   故函数  在点  可微分。

15、三、几个关系(1)、若函数在点处可微分，则函数在该点连续。

16、事实上，则 。

17、 注意到  等价。

18、(2)、函数的偏导数, 存在只是函数全微分存在的必要条件，而不是充分条件。

19、【反例一】函数在点处有类似地  从而   考虑点沿直线趋近于，则它不能随而趋近于，即当时，并不是一个较高阶的无穷小，因此，函数在点的全微分不存在。

20、(3)、若函数在点可微分，则偏导数,在该点存在但不一定连续。

21、【反例二】函数在点可微分，但偏导数在点处不连续。

22、证明：( 当  时 )故函数在处的微分存在,且 。

23、而 当点沿直线趋向于时,极限不存在。

24、故  不存在,在点处不连续。

25、综合上述讨论，我们有结论最后，我们指出：上述概念、定理及结论均要相应地推广到二元以上的函数。

26、习惯上，我们用记，记，并称为自变量,的微分，这样函数的全微分可写成                                     (4)通常，我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，即(4)式称之为二元函数微分的叠加原理。

27、叠加原理也适用于二元以上函数的情形,如果三元函数可微分,那么【例1】求函数  的全微分。

28、解: 因  ,  ,  则  【例2】计算函数 在点  处的全微分。

29、解: ,    ,  故。

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