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斯特瓦尔特定理是什么(斯特瓦尔特定理是什么)
发布时间:2022-08-06 17:15:44范朗莎来源:
您好,蔡蔡就为大家解答关于斯特瓦尔特定理是什么,斯特瓦尔特定理是什么相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、斯特瓦尔特(stewart)定理 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。
2、 证明:在图2-6中,作AH⊥BC于H。
3、为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理有 AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH,(1) AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。
4、 (2) 用BD乘(1)式两边得 AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD,(1)′ 用DC乘(2)式两边得 AB^2·DC=AD^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。
5、(2)′ 由(1)′+(2)′得到 AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC =AD^2·BC+BD·DC·BC。
6、 ∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。
7、 或者根据余弦定理得 AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos角APC AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos角APC 两边同时除以PB·PA·PC得 AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB 化简即可(注:图中2-7A点为P点,BDC点依次为ABC) 提问人的追问 2009-05-15 18:53 你还知道什么是余弦定理和广勾股定理吗? 回答人的补充 2009-05-15 19:02 广勾股定理 勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系,即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”.如果不是直角三角形,而是锐角或钝角三角形,那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢?这就涉及到广勾股定理了. 广勾股定理:在任一三角形中, (1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. 证明 (1)设△ABC中,BC是锐角A的对边(图2-4).作BH⊥AC于H,因为 AB²=BH²+AH², BC²=BH²+CH², 所以, BC²-AB²=CH²-AH². ∴BC²=AB²+CH²-AH². (1) 但是CH²=(AC-AH)² =AC²-2AC·AH+AH². (2) 将(2)代入(1)就得到 BC²=AB²+AC²-2AC·AH. (当H在AC边的延长线上时,结论是一样的.)。
本文就讲到这里,希望大家会喜欢。
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