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辗转相除法原理(辗转相除法原理)

发布时间:2022-10-01 15:06:43公羊苇锦来源:

导读您好,现在渔夫来为大家解答以上的问题。辗转相除法原理,辗转相除法原理相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、原理:设两数...

您好,现在渔夫来为大家解答以上的问题。辗转相除法原理,辗转相除法原理相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、原理:设两数为a、b(a>b),用gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,r=a (mod b) 为a除以b的余数,k为a除以b的商,即a÷b=k.......r。

2、辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

3、第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数第四步:可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd,n=yd (d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)cd,b=nc=ycd,则a与b的一个公约数cd>c,故c非a与b的最大公约数,与前面结论矛盾),因此c也是b与r的最大公约数。

4、从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

5、证毕。

6、以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。

7、即m与n亦互质。

8、解释:辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。

9、它是已知最古老的算法, 其可追溯至公元前300年前。

10、来源:设两数为a、b(a>b),求a和b最大公约数(a,b)的步骤如下:用a除以b,得a÷b=q......r1(0≤r1)。

11、若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用b除以r1,得b÷r1=q......r2 (0≤r2).若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r1除以r2,……如此下去,直到能整除为止。

12、其最后一个余数为0的除数即为(a, b)的最大公约数。

13、例如:a=25,b=15,a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,最后一个余数为0d的除数就是5, 5就是所求最大公约数。

14、举例说明:不定方程为326x+78y=4,求出一组整数解x,y求(326,78)的算式为:326=4*78+1414=326-4*7878=5*14+88=78-5*1414=1*8+66=14-1*88=1*6+22=8-1*66=3*2所以2=8-6=8-(14-8)=2*8-14=2*(78-5*14)-14=2*78-11*14=2*78-11*(326-4*78)=46*78-11*326即2=(-11)*326+46*78所以4=(-22)*326+92*78所以x = - 22, y = 92是不定方程326x+78y=4的一组解。

本文就为大家分享到这里,希望小伙伴们会喜欢。

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