怎么理解傅里叶-贝塞尔展开？《张朝阳的物理课》求解傅里叶-贝塞尔展开系数

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怎么理解傅里叶-贝塞尔展开？上一次直播课得到的流场级数解的系数该怎么求解？1月15日12时，《张朝阳的物理课》第一百一十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先给网友们简单回顾了上一次直播课所得到的圆管中初始时刻静止流体在均匀恒定压力梯度下的流场分布级数形式解，然后以两端固定的弦的波动方程为例，介绍了傅里叶展开与傅里叶-贝塞尔展开之间的联系，最后通过贝塞尔函数的一些性质成功求出了前述流场分布级数解的系数。

一、回顾圆管流场的级数形式解 对比傅里叶展开与傅里叶-贝塞尔展开

在上一次直播课中，张朝阳介绍并求解了一个流体力学模型：一个半径为R的无穷长均匀圆管里装满粘滞系数为μ、密度为ρ的静止流体，从t=0时刻开始给圆管中的流体加上特定的压强分布，该压强的梯度为平行于圆管轴线的常矢量，忽略重力的影响。在这个模型下，以圆管中心为轴建立柱坐标系，z轴指向压强变小的方向，那么流体的流速将平行于z轴，并且流速分布绕中心轴旋转对称、沿z轴平移对称。由于速度场只有z分量，因此只考虑其z分量即可，根据其对称性，可设它为v(r,t)。在上一次直播课中，张朝阳求得t≥0时刻的v(r,t)为

其中c为压强梯度的模，ν=μ/ρ，J0是第零阶贝塞尔函数，λi是J0的第i个正数零点，满足J0(λi)=0，ai是待求的系数，y=r/R。由于t=0时刻流体是静止的，因此v(r,t=0)=0，所以

定义f(y)=y^2-1，那么上式等价于

也就是说f(y)被零阶贝塞尔函数展开了，ai是其展开系数。事实上，只要f(y)满足适当的边界条件，f(y)就能被同一阶的贝塞尔函数所展开，这样的展开被称为傅里叶-贝塞尔展开。

怎么理解傅里叶-贝塞尔展开呢？张朝阳以两端固定的琴弦为例作类比。这个例子在之前的直播课程里详细介绍过，琴弦的运动方程为

假设琴弦一开始只是被拉着偏离平衡位置，然后在t=0时刻被松开，那么它的初始速度为0，琴弦满足的初值条件为

由于琴弦的两端被固定住，因此u(x,t)还需要满足边界条件：u(0,t)=u(a,t)=0，这里的a是琴弦两个固定端点的距离。

之前求解琴弦波动方程时用的是与求解前文流体力学模型中的v(r,t)类似的分离变量法，得到变量分离的解为

其中ki的取值可以根据边界条件得到：

请读者注意，上式中的符号i不代表虚数，而是代表某个正整数。将上述变量分离的解代入波动方程可得

根据此关系可以从ki得到ωi的取值。这样求得的u(x,t)通解为各个变量分离的解的线性叠加：

当t=0时，有

因此ai正是f(x)的正弦展开系数。

一般来说，通过分离变量法来求解一维波动方程，依赖x的一般解和依赖t的一般解都是正弦函数与余弦函数的线性组合；通过边界条件可以去掉依赖x的一般解中的余弦部分，只保留正弦部分，并且给出其中ki的取值范围；而根据初始条件，琴弦在t=0时刻的速度为0，因此可以去掉依赖t的一般解中的正弦部分。这个求解思路与上一次直播课求解v(r,t)是一样的，其中变量分离的两部分的对应关系为：

由此可见傅里叶-贝塞尔展开与普通的傅里叶展开之间的联系与相似性。

二、介绍贝塞尔函数的简单性质 求解圆管流场级数各项系数

介绍完琴弦波动方程与前文流管模型的求解过程的联系之后，张朝阳开始介绍怎么求解流速场级数解中的系数ai，目前已知的条件为

张朝阳介绍说，为了求出这里的系数ai，必须借助一些傅里叶-贝塞尔展开以及贝塞尔函数的性质。首先，零阶傅里叶-贝塞尔展开的系数公式为

其中J1是第一阶贝塞尔函数。在上一次直播课中张朝阳介绍过各阶贝塞尔函数，第零阶贝塞尔函数满足的方程为

第n阶贝塞尔函数满足的方程为

它是一个二阶线性微分方程，有两个线性独立的解，不过x=0是它的奇点，因此不是每个解都能在x=0处展开成幂级数，而贝塞尔函数正好在x=0处可以展开成幂级数。当n取各个自然数值时，就能得到各阶贝塞尔函数：

它们满足两个非常有用的性质：

有了这些性质，接下来就可以求解流速级数的系数ai了。首先，根据零阶傅里叶-贝塞尔展开的系数公式，有

如果知道被积函数的原函数，就很容易求出相应的积分值了。查看前面介绍的贝塞尔函数的第一个性质，借助它可以很容易得到x^nJ_{n-1}的原函数，于是容易求出上式第二行等号右边第二个积分式，但此行的第一个积分式却是x^3J0形式的，无法直接得到它的原函数。张朝阳介绍说，可以借助前面介绍的贝塞尔函数的第二个性质，先将J0的阶“提升”上去，然后就可以使用贝塞尔函数的第一个性质来得到原函数了。不过，有一点需要注意的是，在前面介绍的性质中，贝塞尔函数的自变量是x，而上式积分号中的贝塞尔函数自变量是λ_{i}y，因此需要先对贝塞尔函数的性质稍作修改：

这样就有

上式最后一行的两个被积函数都可以借助贝塞尔函数的第一个性质直接求出其原函数了，不过依然需要注意自变量的差异：

因此

贝塞尔函数在原点处是取有限值的，因此当n≥1时有

于是可得

同样，可以得到

借助这两个积分值，可以得到

上式推导的最后一步用了J0(λi)=0这个条件，这是因为λi是J0的零点。将ai的值代回f(y)的展开式中可得

同样，将ai的值代回流场v(r,t)的级数形式中，可得最终解的形式为

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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